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\title[存在和唯一性]{《常微分方程》第三章：存在和唯一性定理}
\author[]{LQW}
%\institute[XX大学]{XX大学\quad 数学与统计学院\quad 数学与应用数学专业}
%\date{2025年6月}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

% 封面页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

% 目录页
%\begin{frame}{目录}
%  \tableofcontents
%\end{frame}

%\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{目录}

\begin{enumerate}
\item[3.1.] 皮卡存在和唯一性定理：\\ {\color{red} 理解皮卡序列和皮卡存在和唯一性定理。} %&1&2
\item[3.2.] 佩亚诺存在定理：\\ {\color{red} 理解欧拉折线和佩亚诺存在定理。}
\item[3.3.] 解的延伸：\\ {\color{red} 分析微分方程的解的存在区间。} %&1,2&1,2
\item[3.4.] 比较定理及其应用：\\ {\color{red}理解比较定理。应用比较定理分析微分方程的解的存在区间。}%&1,2&

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.1.1. 利普希茨条件 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问：什么是利普希茨条件？}

\item  答：
\begin{enumerate}

\item  设二元函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 内有定义，如果存在常数 $L>0$ 使得 $$|f(x,y_1)-f(x,y_2)| \le L|y_1-y_2|$$ 在区域 $D$ 内都成立，那么称这个函数在该区域内对 $y$ 满足利普希茨条件。

\item  例子：$f(y)=y^2$ 关于 $y\in [-2,2]$ 满足利普希茨条件。 

\item  例子：$f(y)=y^2$ 关于 $y\in [0,\infty]$ 不满足利普希茨条件。 

\item  例子：$f(y)=\sqrt{y}$ 关于 $y\in [0,1]$ 不满足利普希茨条件。

\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.1.2. 皮卡存在和唯一性定理}

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问：什么是皮卡定理？}

\item  答：设二元连续函数 $f(x,y)$ 在矩形区域 
$$R = \{ (x,y): |x-x_0|\le a, |y-y_0|\le b \} $$ 
内对变量 $y$ 满足利普希茨条件。
又设该函数在矩形区域 $R$ 内的最大值为 
$$M= \max \{ f(x,y) \mid (x,y)\in R\}.$$ 
则微分方程初值问题 
$$\frac{dy}{dx} = f(x,y),\, y(x_0)=y_0$$ 
在区间 $[x_0-h,x_0+h]$ 上存在唯一的一个解函数，这里 $h=\min\{a,b/M\}$. 


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.1.3. 皮卡存在和唯一性定理}

\begin{center}
\begin{figure}
\includegraphics [height=0.65\textheight, width=0.75\textwidth]{picard-existence-2.png}
\caption{经过 $(x_0,y_0)$, 在一个较小的区间 $[x_0-h,x_0+h]$ 上唯一存在一个解函数 }
\end{figure}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.1.4. 利普希茨和皮卡}

\begin{center}
\begin{figure}
\includegraphics [height=0.55\textheight, width=0.35\textwidth]{rudolf-lipschitz.jpg}
\hspace{0.2cm}
\includegraphics [height=0.55\textheight, width=0.45\textwidth]{charles-emile-picard.jpg}
\caption{Rudolf Lipschitz (1832-1903) and Charles-Émile Picard (1856-1941) }
\end{figure}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.1.5.  }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问：皮卡定理的证明思路是什么？}

\item  答：
\begin{enumerate}
\item  将初值问题化为积分方程：

\vspace{-0.3cm}

$$y(x)=y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t))dt. $$

\vspace{-0.5cm}

\item  构造皮卡序列：$$y_0(x)=y_0, \,\, y_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_n(t))dt, n\ge 0. $$
\item  证明皮卡序列一致收敛：在定义区间上对 $|y_{n+1}(x)-y_n(x)|$进行估计（使用利普希茨条件），得出函数项级数 
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} [y_{n+1}(x)-y_n(x)]$ 一致收敛。
\item  证明唯一性：若有 $u(x),v(x),x\in [-h,h]$ 都使得方程成立，则 $|u(x)-v(x)|$ 小于任意正数（又使用利普希茨条件）。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.1.6.  }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}例子：设 $(x_0,y_0)$ 是 $(x,y)$ 平面中的任意一点。使用皮卡定理证明，初值问题 $$\frac{dy}{dx} = x^2+y^2,\, y(x_0)=y_0 $$ 存在唯一解。 }

\item  证明：不妨设 $x_0>1, y_0>1$. 以 $(x_0,y_0)$ 为中心，考虑矩阵区域 
$$R = [x_0-1,x_0+1] \times [y_0-1,y_0+1]. $$
考虑常数 $L= 2(y_0+1)$, 则利普希茨条件成立，因此可以使用皮卡定理。
设 $M=(x_0+1)^2+(y_0+1)^2$, 令 $h=\min\{1, 1/M\}$. 
则初值问题的解函数在区间 $[x_0-h, x_0+h]$ 上存在。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.1.7. 例子3.1.1 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}例子1：考虑初值问题 $$\frac{dy}{dx} = F(x,y),\, y(0)=0, $$ 其中函数 $F(x,y)$ 在矩形区域 $[0,1]\times (-\infty,\infty)$ 分区域定义。 
\begin{eqnarray*}
F(x,y) = \left\{\begin{array}{ll}
0, & x=0, -\infty<y<\infty, \\
2x, & 0<x\le 1, -\infty<y<0, \\
2x-4y/x, & 0<x\le 1, 0\le y<x^2, \\
-2x, & 0<x\le 1, x^2\le y<\infty.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
}
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}验证函数 $F(x,y)$ 在该矩形区域内是连续的，但不满足利普希茨条件。}
\item  {\color{red}计算该初值问题的皮卡序列，验证这个皮卡序列是不收敛的。}
\end{enumerate}


%\item  答：


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.1.8. 例子3.1.1：分区域定义的二元连续函数}

\begin{center}
%\begin{figure}
\includegraphics [height=0.8\textheight, width=0.6\textwidth]{ode-example-3-1-1.png}
%\caption{分区域定义的二元连续函数}
%\end{figure}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.2.1. 欧拉折线 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问：什么是欧拉折线？} 

\item  答：
\begin{enumerate}\itemsep1em 
\item  把定义区间 $[x_0-h,x_0+h]$ 分成 $2n$ 等分，设在区间 $[x_0,x_0+h]$ 上的分点为 $x_0, x_1, x_2, \cdots, x_n$. 
\item  从 $(x_0,y_0)$ 出发，向右边画折线，斜率为 $f(x_0,y_0)$, 到垂线 $x=x_1$ 停止，记这条折线的右端点 $(x_1,y_1)$.
\item  从 $(x_1,y_1)$ 出发，向右边画折线，斜率为 $f(x_1,y_1)$, 到垂线 $x=x_2$ 停止，记这条折线的右端点 $(x_2,y_2)$.
\item  类似地，向左也画出 $n$ 条相互连接的折线。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.2.2. 习题3-1-2 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：考虑初值问题：$\frac{dy}{dx} = x+y+1,\,\,y(0)=0$.} 
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}求出解析解 $\varphi(x)$ 并绘制图象。}
\item  {\color{red}求出皮卡序列的前五个函数 $y_k(x)$ 并绘制图象。}
%\item  计算 $\varphi(x)-y_k(x)$ 在区间$[0,2]$的一些点的值。
\item  {\color{red}将区间 $[0,2]$ 等分 $n$ 段，求出欧拉折线 $\phi_n(x)$ 并绘制图像。}
%\item  计算$\varphi(x)-\phi_n(x)$在区间$[0,2]$的一些点的值。
\end{enumerate}

\begin{center}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.6\textwidth]{ode-example-3-1-2.png}
\end{center}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.2.3. Python 代码}

\begin{itemize}\itemsep1em

\item[1.]  载入数值计算的 numpy 模块，画图的 matplotlib 模块。
\begin{python}
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
\end{python}

\item[2.]  定义区间分点 $x_0,x_1,\cdots,x_6$，初始化函数值 $y_0,y_1,\cdots,y_6$. 
\begin{python}
a=0; b=2; N=7
x=np.linspace(a,b,N)
dx=(b-a)/(N-1)
y=np.zeros_like(x)
\end{python}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.2.4. Python代码}

\begin{itemize}\itemsep1em

\item[3.]  迭代计算欧拉折线在每个分点的斜率。
\begin{python}
for k in range(N-1):
    slope=x[k]+y[k]+1
    y[k+1]=y[k]+slope*dx
\end{python}

\item[4.]  画出欧拉折线。
\begin{python}
fig=plt.figure()
ax=fig.add_subplot(111)
ax.plot(x,y,'bo-',label='Euler method')
\end{python}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.2.5. Python代码}

\begin{itemize}\itemsep1em

\item[5.]  画出解析解 $y=-2-x+2e^{x}$ 的图像。注意小区间加细为欧拉折线的十分之一。
\begin{python}
x1=np.linspace(a,b,N*10)
y1=-2-x1+2*np.exp(x1)
ax.plot(x1,y1,'r-',label='Analytic solution')
\end{python}

\item[6.]  添加图例，保存图像。
\begin{python}
ax.legend(loc='best')
fig.savefig('ode-example-3-1-2.png')
\end{python}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.2.6. 一致有界的函数列 }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}问：什么是一致有界的函数列？}

\item  答：考虑定义在区间 $[a,b]$ 上的函数列 $$f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x), \cdots. $$
如果存在常数 $M>0$ 使得对任意 $n\ge 1$, 对任意 $x\in [a,b]$, 都有 $$|f_n(x)|\le M,$$ 那么称这个函数列是一致有界的。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.2.7. 等度连续的函数列 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}问：什么是等度连续的函数列？}

\item  答：考虑定义在区间 $[a,b]$ 上的函数列 $$f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x), \cdots. $$
如果对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta>0$, 使得对任意 $n\ge 1$, 对任意满足 $|x_1-x_2|<\delta$ 的 $x_1,x_2\in [a,b]$, 都有 $$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon,$$ 那么称这个函数列是等度连续的。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.2.8.    }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  例子：函数列 $\{f_n(x)=(-1)^n+x^n, n=1,2,\cdots\}$ 关于 $x\in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 是一致有界的，也是等度连续的。（有两个子序列一致收敛。）

\begin{center}
\begin{figure}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.7\textwidth]{ode-example-3-2-2-a.png}
\caption{一致有界且等度连续的函数列 }
\end{figure}
\end{center}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.2.9.    }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  例子：函数列$\{f_n(x)=(-1)^n+x^n, n=1,2,\cdots\}$ 关于 $x\in [-2, 2]$ 不是一致有界的，也不是等度连续的。
（任意子序列都不是一致收敛的。）

\begin{center}
\begin{figure}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.7\textwidth]{ode-example-3-2-2-b.png}
\caption{不是一致有界、也不是等度连续的函数列 }
\end{figure}
\end{center}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.2.10.    }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  例子：函数列 $\{f_n(x)=(-1)^n+x^n, n=1,2,\cdots\}$ 关于 $x\in [-1, 1]$ 是一致有界的，但不是等度连续的。
（任意子序列都不是一致收敛的。）

\begin{center}
\begin{figure}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.7\textwidth]{ode-example-3-2-2-c.png}
\caption{一致有界、但不是等度连续的函数列 }
\end{figure}
\end{center}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.2.11.  Arzelà-Ascoli 定理 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问：什么是 Arzelà-Ascoli 定理？} 

\item  答：在有限闭区间上的一致有解和等度连续的函数序列，必定有一致收敛的子序列。
%让他们自己说吧。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.2.12.  Arzelà and Ascoli  }

\begin{center}
\begin{figure}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.26\textwidth]{cesare-arzela.jpg}
\hspace{0.2cm}
\includegraphics [height=0.5\textheight, width=0.26\textwidth]{guido-ascoli.jpg}
\caption{Cesare Arzelà (1847-1912) and Guido Ascoli (1887-1957) }
\end{figure}
\end{center}

\url{https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Arzela/}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.2.13. 佩亚诺存在定理}

\begin{itemize}\itemsep1em 

\item  {\color{red}问：什么是佩亚诺存在定理？} 

\item  答：在皮卡定理中，如果没有利普希茨条件，仅有 $f(x,y)$ 是连续函数这个条件，则解函数在区间 $[x_0-h,x_0+h]$ 上存在。（但是不一定唯一。）

\item  证明思路：从欧拉折线序列中找出一个一致收敛的子序列。


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.2.14. Giuseppe Peano and Curva Di Peano }

\begin{center}
\begin{figure}
\includegraphics [height=0.6\textheight, width=0.6\textwidth]{giuseppe-peano-and-his-wife.jpg}
\caption{Giuseppe Peano (1858-1932) and his wife }
\end{figure}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.3.1. 解的延伸}

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}解的延伸定理：设 $P_0(x_0,y_0)$ 是开区域 $G$ 内的任意一点。设函数 $f(x,y)$ 在开区域 $G$ 内连续。
设 $\Gamma$ 是微分方程初值问题 
$$\frac{dy}{dx}=f(x,y),\,\, y(x_0)=y_0$$ 的一条积分曲线。
则 $\Gamma$ 将在开区域 $G$ 内延伸到边界。
即对任意有界闭区域 $G_1$, $P_0\in G_1\subset G$, 积分曲线 $\Gamma$ 将延伸到 $G_1$ 之外。
}

%\item  证明思路：



\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.3.2. 解的延伸定理的示意图 }

\begin{center}
%\begin{figure}
\includegraphics [height=0.7\textheight, width=0.7\textwidth]{solution-extension-theorem.png}
%\caption{解的延伸定理 }
%\end{figure}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.3.3. 习题3-3-3.}

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}例子：考虑对称形式的微分方程 $xdx+ydy=0$, 定义域为 $$G=\{(x,y)\mid x^2+y^2>0\}. $$
单位圆 $x^2+y^2=1$ 是一条积分曲线，它在区域 $G$ 的内部，并没有延伸到 $G$ 的边界。
这是否与解的延伸定理矛盾？}

\item  答：写成定理形式的微分方程为 $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y},$$
在直线 $y=0$ 上没有定义，即 $f(x,y)=-\frac{x}{y}$ 在上述区域 $G$ 中不是连续的。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.3.4.  }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}例子3.3.1：证明微分方程 $\frac{dy}{dx} = x^2+y^2$ 的任一解的存在区间都是有界的。} 

\item  答：

\begin{enumerate}\itemsep0.5em
\item    函数 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在开区域 $G$ 即整个平面上是连续的。
\item   根据解的延伸定理，任意一条积分曲线将延伸到无穷远。
\item   设经过 $(x_0,y_0)$ 的积分曲线的最大存在区间是 $(\alpha_0,\beta_0)$. 
\item   证明 $\beta_0$ 不能是正无穷大。
\item   证明 $\alpha_0$ 不能是负无穷大。
\end{enumerate}

%考虑微分方程 $\frac{dy}{dx} = 1+y^2$.  

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.3.5.  }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}例子3.3.2：在平面上任取一点 $P_0(x_0,y_0)$, 证明初值问题 $$\frac{dy}{dx} = (x-y)\exp(xy^2), \,\, y(x_0)=y_0$$
的右行解在区间 $[x_0,\infty)$ 都存在。} 

\item  答：在 $y=x$ 这条直线上，积分曲线的斜率等于零。这导致这条直线右边的积分曲线总是在这条直线的下方。


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.3.6. 向右延伸到无穷远的一条积分曲线 }

\begin{center}
\includegraphics [height=0.8\textheight, width=0.9\textwidth]{ode-example-3-3-2-b.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.4.1. 第一比较定理 }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}第一比较定理：设函数 $f(x,y)$ 与 $F(x,y)$ 在平面区域 $G$ 内都连续，且满足不等式 $f(x,y)< F(x,y)$ 对任意 $(x,y)\in G$ 都成立。又设函数 $y=\varphi(x)$ 与 $y=\Phi(x)$ 分别是初值问题 $E_1$ 与 $E_2$ 的解，其中 $(x_0,y_0)\in G$, 
\begin{eqnarray*}
(E_1): & \frac{dy}{dx} = f(x,y), & y(x_0)=y_0, \\
(E_2): & \frac{dy}{dx} = F(x,y), & y(x_0)=y_0. 
\end{eqnarray*}
则当 $x>x_0$ 时有 $\varphi(x)<\Phi(x)$; 当 $x<x_0$ 时有 $\varphi(x)>\Phi(x)$. 
}

\item  证明：设 $\psi(x)=\Phi(x)-\varphi(x)$. 则有 $\psi(x_0)=0$, 且 $\psi'(x_0)>0$. 

设有 $\beta>x_0$ 使得 $\psi(\beta)=0$. 设 $\beta$ 是满足这样的条件的最小的那个。

则可得 $\psi'(\beta)\le 0$ 与 $\psi'(\beta)>0$ 同时发生的矛盾。


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.4.2. }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}问：什么是初值问题的最大解和最小解？} 

\item  答：考虑初值问题 $$\frac{dy}{dx} = f(x,y), \,\, y(x_0)=y_0,$$ 其中二元函数 $f(x,y)$ 在矩形区域 
$$R =\{ (x,y) : |x-x_0|\le a, |y-y_0|\le b \}$$ 上连续。

\begin{enumerate}
\item  从佩亚诺存在定理可知，解函数存在，但是不一定唯一。
\item  最大解和最小解就是这个初值问题的两个特殊的解。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.4.3. 第二比较定理 }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}第二比较定理：
设函数 $f(x,y)$ 与 $F(x,y)$ 都在平面区域 $G$ 内连续，且满足不等式 $f(x,y)\le F(x,y),\, (x,y)\in G$. 
设函数 $y=\varphi(x)$ 是初值问题 
\begin{eqnarray*}
(E_1):\,\, \frac{dy}{dx} = f(x,y),\,\, y(x_0)=y_0, 
\end{eqnarray*}
的右行最小解和左行最大解。
设函数 $y=\Phi(x)$ 是初值问题
\begin{eqnarray*}
(E_2):\,\, \frac{dy}{dx} = F(x,y),\,\, y(x_0)=y_0, 
\end{eqnarray*}
的右行最大解和左行最小解。则当 $x\ge x_0$ 时有 $\varphi(x)\le \Phi(x)$; 当 $x\le x_0$ 时有 $\varphi(x)\ge \Phi(x)$. 
} 

%\item  答：


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.4.4. }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}例子3.4.1：讨论微分方程 $\frac{dy}{dx}=\sin(xy)$ 的解的延伸趋势。} 

\item  答：
\begin{enumerate}
\item  经过平面上任意一点 $(x_0,y_0)$, 存在唯一解，定义于 $-\infty<x<\infty$. 
\item  零函数是一个解。
\item  对任意解 $y(x)$, 都有 $\lim\limits_{x\to\infty} y(x)=0$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.4.5. }

\begin{center}
\includegraphics [height=0.8\textheight, width=0.9\textwidth]{ode-example-3-4-1.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.4.6. }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item   {\color{red}例子3.4.2：设初值问题 $\frac{dy}{dx} = x^2+(y+1)^2,\,\, y(0)=0$ 的解在右侧的最大存在区间是 $[0,\beta)$, 证明 $\frac{\pi}{4}<\beta<1$. } 

\item  答：当 $|x|\le 1$ 时，考虑下述比较，并使用比较定理，可证 $\frac{\pi}{4}\le\beta\le 1$.
$$(y+1)^2\le x^2+(y+1)^2 \le 1+(y+1)^2.$$


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{3.4.7. }

\begin{center}
\includegraphics [height=0.7\textheight, width=0.7\textwidth]{ode-example-3-4-2.png}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题3-1 }

\begin{enumerate}\itemsep1em

\item[3.1.1.]  利用右端函数的性质讨论下列微分方程满足初值条件 $y(0)=0$ 的解的唯一性问题：
\begin{enumerate}
\item[(1)]  $\frac{dy}{dx} = |y|^\alpha$, 常数 $\alpha>0$. 
\item[(2)]  $\frac{dy}{dx} = \left\{\begin{array}{ll} 0, & y=0, \\ y\ln |y|, & y\neq 0. \end{array}\right. $
\end{enumerate}

\item[3.1.2.]  求初值问题 $$\frac{dy}{dx} = x+y+1,\,\, y(0)=0$$ 的皮卡序列，并由此求极限求解。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题3-2 }

\begin{enumerate}\itemsep1em

\item[3.2.0.]  将区间 $[-1,1]$ 六等分，求初值问题 $$\frac{dy}{dx} = x+y,\,\, y(0)=0$$ 的欧拉折线。（写出分段函数的表达式，并画出图形。）

\item[3.2.1.*]  使用阿斯科利引理证明：若定义在有限区间上的函数序列 $$\{ f_n(x), x\in (a,b),n=1,2,3,\cdots \} $$ 是一致有界和等度连续的，则这个函数序列存在一致收敛的子序列 $$\{ f_{n_k}(x), x\in (a,b),k=1,2,3,\cdots \}. $$ 


\end{enumerate}

\end{frame}

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\begin{frame}{习题3-3 }

\begin{enumerate}\itemsep1em

\item[3.3.1.]  设函数 $a(x),b(x)$ 在 $(-\infty,\infty)$ 是连续的。证明线性微分方程
$$\frac{dy}{dx} = a(x)y + b(x)$$
的每个解 $y=\varphi(x)$ 在 $(-\infty,\infty)$ 上都有定义。

\item[3.3.2.]  讨论下列微分方程的解的存在区间：
\begin{enumerate}
\item[(1)]  $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+y^2}$. 
\item[(2)]  $\frac{dy}{dx} = y(y-1)$. 
\item[(3)]  $\frac{dy}{dx} = y\sin(xy)$. 
\item[(4)]  $\frac{dy}{dx} = 1+y^2$. 
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\end{frame}

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\begin{frame}{习题3-4 }

\begin{enumerate}\itemsep1em

\item[3.4.0.]  设初值问题 $$\frac{dy}{dx} = x^2+(y+1)^2,\,\, y(0)=0$$ 的解在右侧的最大存在区间为 $[0,\beta)$, 证明：$\frac{\pi}{4}\le \beta\le 1$. 


\end{enumerate}

\end{frame}

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\end{document}

